本质矩阵分解

本质矩阵

给定本质矩阵E，求分解得到的R、t

解：

$$W=\left[\begin{matrix} 0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right] , Z=\left[\begin{matrix} 0&1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&0 \end{matrix}\right]$$

本质矩阵固有的性质：它的奇异值中有两个相等而第三个是0。对E进行SVD分解：$E=Udialg(1,1,0)V^T$

则R、t可能的解有

$$t=U(0,0,1)^T=u_3$$

即U的最后一列，t的符号不确定，有正负两种情况。R也有两种情况：

$$R=UWV^T\\ R=UW^TV^T$$

所以分解得到的R、t有4种解。

基本矩阵

给定一对图像，对于一幅图像上的每点x，在另一幅图像中存在一条对应的对极线$I’$.在第二幅图像上，任何与该点x匹配的点x’必然在对极线$I’$上。基本矩阵F表示的是从点到直线的摄影映射，即一幅图像的点到另一幅图像上与之相对应的对极线的映射$x\rightarrow I’$.

给定点$x’$,通过$x’$和对极点$e’$的对极线$I’$可记为$I’=e’\times x’=[e’]_{\times}x’$（见过两点的直线表示）。根据之前的单应矩阵，可知$x’=Hx$，所以：

$$I'=[e']_{\times}Hx$$

定义基本矩阵$F=[e’]_{\times}H$.所以对极线为$I’=Fx$,因为x’在$I’$上，所以$x’^TI’=x’^TFx$.

退化

如果点对应集不能唯一确定对极几何，即如果存在线性独立的秩为2的矩阵$F_j,j=1,2$,使得

$$x_i'F_1x_i=0\\ x_i'F_2x_i=0$$

则称它在几何上相对于F是退化的。