过两点的直线表示

给定两点e,X，分别记为$(e_x,e_y),(x’,y’)$，则过这两点的直线可表示为$I’=[e]_{\times}X$.

证：

$$I'=[e]_{\times}X= \left[\begin{matrix} 0&-1&e_y\\ 1&0&-e_x\\ -e_y&e_x&0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x'\\ y'\\ 1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} -y'+e_y\\ x'-e_x\\ -x'e_y+y'e_x \end{matrix}\right]$$

由直线方程两点式得：

$$\frac{x-e_x}{x'-e_x}=\frac{y-e_y}{y'-e_y}\\ (x-e_x)(y'-e_y)=(x'-e_x)(y-e_y)\\ xy'-xe_y-e_xy'=x'y-x'e_y-e_xy\\ 0=(e_y-y')x+(x'-e_x)y+y'e_x-x'e_y\\$$

证毕。