SO(3)伴随证明

证明 ：$Rexp(a^\times)R^T=exp((Ra)^\times)$

解：

将左侧展开得：

$$Rexp(a^\times)R^T=R\sum\frac{(a^\times)^n}{n!}R^T\\ =\sum\frac{R(a^\times)^nR^T}{n!}\\ =\sum\frac{(Ra^\times R^T)(Ra^\times R^T)(Ra^\times R^T)...}{n!}\\ =\sum\frac{(Ra^\times R^T)^n}{n!}\\ =exp(Ra^\times R^T)$$

对要证等式两边同取对数，因此只要证明$Ra^\times R^T=(Ra)^\times$即可。

式子右边同乘向量$v$:

$$(Ra)^\times v=(Ra)\times (RR^Tv)=R(a\times R^Tv)=Ra^\times R^Tv$$

证毕。